Zyklische Gruppe

In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element ${\displaystyle a}$ erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \left\langle a\right\rangle :=\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace .}$

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist also zyklisch, wenn sie ein Element ${\displaystyle a}$ enthält, sodass jedes Element von ${\displaystyle G}$ eine Potenz von ${\displaystyle a}$ ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element ${\displaystyle a}$ gibt, sodass ${\displaystyle G}$ selbst die einzige Untergruppe von ${\displaystyle G}$ ist, die ${\displaystyle a}$ enthält. In diesem Fall wird ${\displaystyle a}$ ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von ${\displaystyle G}$ genannt.

Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ (für diese Aussage betrachten wir 0 nicht als natürliche Zahl) gibt es eine zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{n}}$ mit genau ${\displaystyle n}$ Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.